2022-2023学年四川省达州市高二上学期期末监测数学（理）试题

一、单选题

1.小明家种植的芝麻晾晒后，黑芝麻和白芝麻均匀地混在一起，从中随机取出一部分，数得500

粒芝麻内含有10粒白芝麻，则小明家的芝麻l0°kg含有白芝麻约为（）

A.临B.2kgC.3kgD.4kg

【答案】B

【分析】根据比例不变及古典概型的概率公式即可求解.

【详解】设小明家的芝麻l0°kg含有白芝麻约为皿g,则

10x

由题意可知，500-100,解得x=2,

所以小明家的芝麻l0°kg含有白芝麻约为2kg

故选：B.

2.某班学生小李参加了2022年市举办的高中数学竞赛和高中物理竞赛，与事件“小李至少有一门

学科竞赛获一等奖”互斥的事件是（）

A.小李两门学科竞赛都没有获一等奖

B.小李两门学科竞赛都获一等奖

C.小李至多有一门学科竞赛获一等奖

D.小李只有一门学科竞赛获一等奖

【答案】A

【分析】首先列出所有可能结果，再根据互斥事件的概念判断即可.

【详解】解：因为小李参加了2022年市举办的高中数学竞赛和高中物理竞赛，

则小李的获奖情况有两门学科都获一等奖、两门学科竞赛都没有获一等奖、

数学获得一等奖而物理没有获得一等奖、物理获得一等奖而数学没有获得一等奖，

事件“小李至少有一门学科竞赛获一等奖”包含两门学科都获一等奖、

数学获得一等奖而物理没有获得一等奖、物理获得一等奖而数学没有获得一等奖这三个基本事件,

则与其是互斥事件的为：小李两门学科竞赛都没有获一等奖.

故选：A

3.设*，/是两条不同的直线，氏乃是两个不同的平面，且"uc,/u尸，下列说法正确的是（）

A.如果人工?，那么£，夕B.如果那么上

C.如果左〃夕，那么a〃4D.如果a〃£,那么左〃/

【答案】A

【分析】逐项分析即可求解.

【详解】对于A,根据面面垂直的判定即可证明为正确选项；

对于B,如果0工夕，那么上可能与方平行，垂直，相交，故选项错误；

对于C：如果/〃/，那么々与尸可能平行或相交，故选项错误；

对于D：如果a〃/，那么短可能平行，异面，或垂直.

故选：A.

4.执行如图所示的程序框图.如果输入的。为2,输出的S为3,那么〃=()

A.9B.8C.7D.6

【答案】C

【分析】根据循环结构，得到输出S的公式，得到i,再结合框图，判断〃的值.

,2,3।i+1「

So—log,—Flog)—P...+logo-----—3

【详解】由程序框图可知，输出的-1-2-/,

则log2。+1)=3,得i=7,那么判断框图P=7

故选：C

雪=4(/1"0)

5.双曲线,仁的渐近线方程为()

v-+2xy=±x

A.y-±ZxB.2

Cy=±4xDy=±e'x

【答案】B

【分析】先将曲线方程化为标准方程，再求渐近线方程.

:A-=2(4ax0)

【详解】a。

•工_E=1R.

"2Aa2-丫4=1

.,后一2

若儿＞°，4

22

.yx.

•.—初-Aa2~

若丸＜0,~4

y=±-x

故渐近线方程为2,

故选：B.

6.为了了解客流量x（单位：人）对纯收入了（单位：元）的影响，对某面馆5天的客流量和纯

收入统计如表.已知x和V具有线性相关关系，且回归直线方程为夕=5.02X+7.6（参考公式:

尸=宸+&）,那么“的值为（）

X100115120130135

y507589a662682

A.610B.620C.636D.666

【答案】A

［分析］先计算出无，代入回归方程得到了，再计算«.

_100+115+120+130+135

x=---------------------------------=120

【详解】5,

则T=5.02x120+7.6=610,

507+589+4+662+682

610=--------------------------------

则5,得。=610,

故选：A.

7.若数据和z，…，%的方差为25,则数据3为+1，3々+1,“、3%+1的标准差为（）

A.225B.76C.75D.15

【答案】D

【分析】根据数据的方差的性质，可得3*+1，3*2+1-、3%+1的方差，继而得其标准差，即得答案.

【详解】•••若的方差为s',则知+6,3+瓦…办“+6的方差为02s2,

数据小孙…,的方差为25,

则数据3网+UR?++1的方差为3?x25,

故数据3占+1，3匹+1，・r3当+1的标准差为3、5=15,

故选:D

8.己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）

A.厢7tB.2C.痴兀+兀D.4兀

【答案】C

【分析】根据三视图判断出立体图形并根据圆锥表面积公式即可求解.

【详解】根据三视图可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为1,高为3,如图:

则该几何体的表面积是兀xlxH3+兀X12=布兀+兀.

故选：C.

9.直线x-y-2=°上两点48到直线尸-1的距离分别等于它们到/（LO）的距离，则

网+网=（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】首先确定点48在抛物线V=4x上，然后联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示焦

半径的和.

［详解】根据抛物线的定义可知，到直线x=T距离和到点F（L°）的距离相等的点的轨迹是以

（）/9）vA,直线x=T为准线的抛物线，抛物线方程为丁=4巴

卜一,-2=0

所以点48是直线x-y-2=°与抛物线的两个交点，联立方程L'=4X,

得/一8*+4=0,再+々=8,

而上尸|+忸尸|=3+1+马+1=10

故选：C

10.如图，三棱柱"8C-44G的所有棱长都相等，平面为N8的中点，N为CG的

中点.则可与平面8CC£所成角的正弦值为（）

V3A/3V15叵

A.3B.4C.5D.11

【答案】B

【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】解：依题意三棱柱/SC-48cl为正三棱柱，取8c的中点O,

连接"，过点。作则W8C,

M但，o]

如图建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2,则NO」/），12'2人

所以显然平面百

1228CC的一个法向量可以为〃=

1-----V3

2一百

sin。

网问kJ外卜”4

设MN与平面灰G4所成角为e,则

故AW与平面所成角的正弦值为4

11.在梯形/5CO中，/8=2℃,"。仆8。=。,在梯形/8（70内（包括边界）随机取一点M,则

点M在内（包括边界）的概率为（）

1142

---

5399-

氏C

A.D.

【答案】D

【分析】由题意可知，本题为几何概型中的面积比值，根据图形，转化为计算面积比值.

【详解】设梯形的面积为S,因为/8=2℃,所以"2"眈13,

g=S=-S=-S

易得A如~A协，所以用一CB~2,则""一5"3,

2

S

9-2

=

S9-

所以点“在△zoo内（包括边界）的概率'

AB

故选：D

12.已知直线/〃='+日上存在点P,使得尸到点/（T°）和8（L°）为的距离之和为4.若

m491

“一机-1为正数,---------1--------

则加-1的取值范围是（）

8543

——,+<%)——,+8

B,[14,+oo)6

A.瑶C.D.3

【答案】C

【分析】根据椭圆的定义求出点P的轨迹方程，根据直线与椭圆有交点，联立直线与椭圆方程，根

m

n=-----

据ANO求出机的取值范围，再根据加-1为正数，求出用的范围，即可得到1<团47,则

49149491

-------1-------=--------F加-1--------F-----

"L1«-1M7-1,再根据对勾函数的性质求出现-1"-1的取值范围.

【详解】解：因为P到点/（T°）和8（L°）为的距离之和为4,且3M=2<4,

所以点尸的轨迹是以"（T'°）和8（1。）为焦点的椭圆，且c=l,a=2,所以b=6-c2=6

"2-1

所以椭圆方程为43,

又直线"x+而与4+3一有交点，所以卜="+诟，消去V得7/+8而x+4m-12=0,

所以A=64〃L4X7（4加-12）20,解得七7,又用±0,所以机«0,7]

n=-------------->U

又机-1为正数，所以机T，解得6>1或山<0,

所以1〈加47,

49149149,

-------1=1------------=-------F加一1

772-1n-1---m-m〔tn-1

所以用一1

_49

令”冽-1,则0<，K6,因为"t-在（°用上单调递减,

49、49,8549185

—+Z>—+6=-------+------>—

所以t66,即机一1n-6,

85

"+_L——，+8

即加-1"T的取值范围是L6

故选：C

二、填空题

13.棱长为4的正方体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的体积为.

【答案】32岳

【分析】根据正方体的性质结合球的体积公式即得.

【详解】由题意，球。为正方体的外接球，则球。的直径为正方体的对角线长，

设外接球的半径为R，可得2尺=4白，即R=2后，

r=—X（2VJ1=32后

所以球°的体积为3'^

故答案为：326院

14.如图是某核酸采集点6次核酸采集人数的茎叶图，则这6次核酸采集人数的方差为

11179

1120022

【答案】3

【分析】首先求平均数，再根据方差公式求解.

1117+1119+1120+1120+1122+1122_口2()

【详解】这6次核算采集人数的平均数是6一,

所以6次采集人数的方差为

1[(1117-1120)2+(1119-1120)2+2x(1120-1120)2+2x(1122-1120)2]=3

故答案为：3

x2y25

C：—z----=1(4Z>>0)八一A/》

15.已知厂是双曲线1匕的一个焦点，0的离心率为3,是C上关于原点

对称的两点，-“卜-M=6.则双曲线c的标准方程为.

二上=1

【答案】916

【分析】利用对称性，结合双曲线的定义，得2，，=6,再结合离心率，求得双曲线的方程.

【详解】根据双曲线的对称性，不妨设左焦点尸，右焦点尸',

如图，点〃在右支，点N在左支，线段所'和互相平分,

所以四边形尸M'W是平行四边形，忸2=|10'|,

c_5

所以但陷一「叫=|朋F|TMF[=6,则2a=6,又a3,得"3,c=5,b2=c2-a2=16,

16.已知尸是椭圆07+口/=M°<e")上的动点，C的焦点为耳、鸟，设归印一,

I明=4,(24+4)⑶+，1)的最小值为/⑷，则〃e)=

【答案】36-4e2

【分析】由椭圆的定义可得「+弓=2。=4,设点P（x，y）,其中-2V,计算出外的取值范围,

可得出（2"+"）（2弓+4）=-（4-2）一+36,利用二次函数的基本性质可求得/9）

2222

［详解】因为0<e<l,则4>4-4e2>0,贝|」/=4,b=4-4e,/.c=la-b=2et

所以，设椭圆C的左焦点为々（/e，。），则其右焦点为入（2e,0）,

由椭圆的定义可得‘；+4=2。=4,

222

设点「（”），其中-24x42,/=4-4e-（l-e>>

+4"+4/+4-4/一(1一/”

则“

2+ex£[2-2e,2+2e]所以

-2e<r]-2<2e

故当4-2=2e或4-2=-2e时，(24+幻(24+斗)取最小值/(e)=36-4e?

故答案为:36-4/.

三、解答题

17.已知圆C过原点，圆心C在射线y=x（xz°）上，圆心c到y轴距离为2.

（1）求圆C的标准方程；

（2）直线x+y-6=°与圆c交于48两点，求M

【答案】⑴（X-2），+3-2）2=8

⑵2戊

【分析】（1）根据圆心C在射线y=x（x2°）上，圆心C到N轴距离为2可得圆心坐标为（2,2）,设出

圆的标准方程，再利用圆过原点即可求解；

（2）利用圆心直线的距离，圆的半径，结合垂径定理即可求出弦长.

【详解】（1）由圆心°在射线V=x（x*O）上，圆心C到V轴距离为2,

设圆C的标准方程为(x-2>+&-2)2=r2(r>0),

又圆C过坐标原点，得r=2a,圆C的标准方程为（X-2）2+3-2）2=8

（2）由（1）知半径厂=2近,

d」2+2-6|,石

圆心C（2,2）到直线x+y-6=0的距离>/171,

由垂径定理可得：陷=2而-屋=2瓜

18.在某校2022年春季的高一学生期末体育成绩中随机抽取50个，并将这些成绩共分成五组：

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]；得到如图所示的频率分布直方图,在卜°，7。）的成绩为不

达标，在[7°，网的成绩为达标.

（1）根据样本频率分布直方图求。的值，并估计样本的众数和中位数（中位数精确到个位）：

（2）以体育成绩是否达标为依据，用分层抽样的方法在该校2022年春季的高一学生中选出5人，再

从这5人中随机选2人，那么这两人中至少有一人体育成绩达标的概率是多少？

【答案】⑴众数为65,中位数为73；

9

⑵10.

【分析】（1）根据各组频率和为1可求出”的值，然后根据众数和中位数的定义求解即可；

（2）根据分层抽样的概念可知不达标的学生有2人，达标的学生有3人，然后利用列举法，根据

古典概型概率公式即得.

【详解】（1）由题知（°0°4+°.0°8+"+0.032+°.036）x|°=|,

得a=0.020,

由直方图可知众数为65；

(0.004+0.036)x10-0.4(0.004+0.032+0.036)x10=0.72

设中位数为％则0.004xl0+0.036xl0+（x-70）x0.032=0.5

得工=73.125。73,

所以中位数为73；

（2）分层抽样的方法从不达标和达标的学生中共选出5人，

则不达标的学生有2人记为A，B,达标的学生有3人记为“，仇c，

从这5人中选2人的情况有4B，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab,四加共工种,

这两人中至少有一人是“达标”的情况有"c,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc共9种,

Q

设〃="这两人中至少有一人达标”，则v710,

9

所以，这两人中至少有一人达标的概率是1°.

19.在等比数列也｝中，的前〃项和为S“

⑴求""和S":

Q）b“=lna“,T”=U+A+…+",求7；

a-»-is

.依山、an-Qe必一.

【答案】（1）1-e

W（M—1）

⑵2

【分析】（1）设等比数列｛%｝公比为a,根据条件求出“，利用公式求出勺和S，即可,

（2）由（1）求出”的通项公式，然后利用等差数列求和公式计算即可.

【详解】（D设等比数列何｝公比为“，

•/《=1,。2。3=d

23

a2-a3=axq-axq==e

解得夕=e,

M-l

(2).

bn=lna〃=n-

•U=bi+b?+…+b”

=0+1+2+…1)

20.如图，在四棱锥P_/88中，面力88,AB1AD,ADHBC,点瓦尸分别为「4Po的

中点，AB=BC=2,AD=PA=4

BC

⑴证明:直线EF〃平面尸BC；

（2）求二面角尸一°-8的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

73

⑵3.

【分析】（1）依题意可得"O//EF,即可得到EF//8C,从而得证；

（2）连接"C,即可求出/C、CD,从而得到4CLCD,再由线面垂直的性质得到尸CO,即

可得到CD，平面&C,则二面角尸一。-“得平面角为41CP,再由锐角三角函数计算可得.

【详解】（1）证明：・・•点瓦尸分别为p4Po的中点，

AD//EF,

•・•AD//BC,二EF//BC,

•・,EF<z平面PBC,BCu平面PBC,

EF〃平面PBC

(2)解：・・・48_L/1D,/D〃8C,.：A818c

连接4C,由AB=BC=2得4c=y/4B2+BC?=26,

22

..AD=4CD=yjAB+(AD-BC)=272(

所以4C2+CZ>2=/Z)2,

:.ACLCDt

底面/BCD,"。,8(=底面/8。，：.PAVAC,PALCD

・•・P4'C是平面P4C内两相交直线，

••・co,平面P/C,

・.・PCu平面PAC,:.CD_LPC,

二二面角尸_8_/得平面角为4CP,

22：COSZACP==

-.-AP=4,■-PC=>jAC+AP=276；'~PCT,

且

所以二面角P-CD-Z的余弦值为3,

即二面角尸一8-8的余弦值为3.

21.已知过圆+_/=/&>0)上一点/(0,5)的直线/与该圆另一交点为8,°为原点，记

NAOB=a,aG[0,TC]

⑴当=时，求a的值和/的方程；

2

⑵当阳=5时，/(x)=-sinx+2cosxsina+2cosa-l;求小)的单调递增区间

_2兀

[答案](1)。-7，/的方程为Gx+y_5=0或Gx—y+5=0；

2lat--,2kn--(keZ)

(2)单调递增区间为L66」

【分析】（l）利用余弦定理求出结合。€[°，兀],得到夕的值，设出/的方程为

丘一y+5=0,利用垂径定理求出发，得到直线方程；

⑵根据网=5,得到*=3,代入/'（X）中，化简得到，㈤一百卜屋）2.利用整体法得到

函数的单调递增区间.

【详解】（1）•••点迎5）在圆。:x、/=/（r>o）上,

二尸=25

■.■AB=5y/3,OA=OB=5

不与x轴垂直，

设’的方程为歹=辰+5,即丘7+5=0,

.5_5

=

■-7?772）

解得：k=Y,或％=G,

所以/的方程为6x+y-5=°或Gx—y+5=°；

_It

(2)当网=5时，”3,

由"'）=-sinx+2cosx•sina+2cos2a-1得

f(x)=-sinx+y/icosx--=2cosx+—

I62

TT

2kn-n<x+—<2kn(keZ)

当且仅当6

77rjr

2kn------<x<2kit—(kGZ)r/丫、

即66、/时，八x)单调递增,

2E-与,2E一今(kGZ)

所以/（“）的单调递增区间为-

/(x)=2sin

(备注:也是对的).

22.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率兀与椭圆的长半轴长、短半轴长

4

的乘积.己知椭圆「的中心为原点，焦点6鸟均在X轴上，离心率等于面积为157r.

(1)求「的标准方程：

(2)若直线/与圆/：/+/=16相切，且直线/与「交于C，。两点，求△CO。面积的最大值.

I7

【答案】⑴259.

36

⑵5.

【分析】(1)由题可得而=15,然后根据离心率结合条件即得；

S=36

(2)当直线/斜率不存在时，可得5,当直线/斜率存在时，设直线/方程为夕=H+加，联

立椭圆方程根据韦达定理及弦长公式可表示出SAC。。，结合条件即得.

―+=1(<7>6>0)

【详解】(1)设椭圆「的方程为，〃,

由7uzb=15兀，得。方二15,

c44fl-73

—=—c=_qb=7cr-c~=—a

由45,得5,则5,

解得"5,所以6=3,

"-I

所以椭圆