分析 （1）由粒子在电场和磁场之间做匀速直线运动的轨迹得到粒子离开电场时的速度方向，进而求得粒子在电场方向的末速度，然后由类平抛运动规律，根据位移求得电势差；
（2）根据类平抛规律求得粒子在电场中的运动时间，再由匀速直线运动规律求得电场、磁场之间的运动时间；最后再由洛伦兹力做向心力求得半径和周期，然后由半径及进入磁场的速度方向，根据几何关系求得转过的中心角，进而求得运动时间．

解答 解：（1）设粒子从N点射出的速度与极板的夹角为θ，板间距为d，如图所示，可解得：tanθ=$frac{frac{1}{2}d}{R}$=$frac{sqrt{3}}{3}$，即θ=30°；
所以，v_y=v₀tanθ；
粒子在电场中做类平抛运动，粒子的加速度$a=frac{F}{m}=frac{qE}{m}=frac{qU}{md}$，则：${{v}_{y}}^{2}=ad$=$frac{qU}{m}$；
所以，$U=frac{m{{v}_{y}}^{2}}{q}=frac{m{{v}_{0}}^{2}ta{n}^{2}θ}{q}=frac{{B}^{2}q{R}^{2}}{12m}$；
（2）带电粒子在电场中运动的时间${t}_{1}=sqrt{frac{frac{1}{2}d}{frac{1}{2}a}}=sqrt{frac{d}{a}}=sqrt{frac{m{d}^{2}}{qU}}=sqrt{frac{16{m}^{2}}{{B}^{2}{q}^{2}}}$=$frac{4m}{Bq}$；
带电粒子离开电场后，进入磁场前做匀速直线运动，运动时间${t}_{2}=frac{R}{{v}_{0}}=frac{2m}{Bq}$；
带电粒子进入磁场的速度v=$frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$frac{BqR}{sqrt{3}m}$；
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力做向心力，即qvB=m$frac{{v}^{2}}{r}$，所以，$r=frac{mv}{Bq}=frac{sqrt{3}}{3}R$；
在磁场中偏转的轨迹如图所示，∠OPO′=30°，∠POO′=30°，所以，粒子在磁场中转过的角为360°-2（∠OPO′+∠POO′）=240°；
带电粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$frac{2πr}{v}$=$frac{2πm}{qB}$；
所以，粒子在磁场中的运动时间${t}_{3}=frac{240°}{360°}T=frac{4πm}{3Bq}$；
所以，粒子整个过程的运动时间：$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=（frac{4π}{3}+6）frac{m}{Bq}$；
答：（1）电容器两板间的电势差为$frac{{B}^{2}q{R}^{2}}{12m}$；
（2）粒子从进入电场到射出磁场的整个过程所经历的时间为$（frac{4π}{3}+6）frac{m}{Bq}$．

点评 带电粒子在磁场中运动，一般由洛伦兹力做向心力取得半径和周期，然后根据几何关系得到半径和中心角，即可求解相关问题．